Persamaan Elips

Elips memiliki persamaan sebaga beikut

             

Elips horizontal dengan pusat (0, 0) adalah

 Elips vertikal dengan pusat (0, 0) adalah

Elips horizontal dengan pusat (α, β) adalah

Elips vertikal dengan pusat (α, β) adalah

Dengan ketentuan

1. Panjang sumbu mayor

    = 2a

2. Panjang sumbu minor = 2b

3. a > b

4. a² = b² + c²

5. c = Jarak pusat ke fokus

INTEGRAL TAK TENTU

Sebagaimana kita pelajari, terdapat beberapa langkah untuk menyelesaikan masalah integral.

1. Pertimbangkan menggunakan integral biasa – integral sebagai kenaikan pangkat.

∫ xⁿ dx = 1/(n+1) xⁿ⁺¹ 

Tentu kecuali n = -1 maka akan menghasilkan ln x.

2. Pertimbangkan menggunakan integral substitusi. Ubah bentuk integran menjadi integral kenaikan pangkat seperti di atas.

∫ uⁿ du = 1/(n+1) uⁿ⁺¹ 

Dalam beberapa kasus kita perlu menggunakan substitusi trigonometri. Tabel integral baku sangat membantu. Purcell merekomendasikan 17 bentuk integral baku. Namun di bagian lampiran buku Kalkulusnya, Purcell mendaftar lebih dari 100 bentuk integral baku.

3. Pertimbangkan integral parsial. Setelah integral substitusi menyerah… giliran integral parsial yang turun tangan. Integral parsial juga dikenal sebagai integral substitusi ganda.

Masih kita ingat, bentuk umum integral parsial adalah:

∫ u.dv = u.v ˗˗ ∫ v.du

Namun perlu diingat, tidak berarti integral parsial dapat menangani integral yang lebih luas dari integral substitusi. Masing-masing memiliki keunggulannya sendiri. Memang benar integral parsial lebih kompleks dari integral substitusi.

Beberapa guru tidak mengenali tipe-tipe integral parsial ini. Kesalahan ini dapat mengakibatkan banyak kesulitan bagi siswa. Pada tahap awal, guru harus memperkenalkan integral parsial tingkat 1 ini.

Apa maksud integral tingkat 1 (dengan 1 kali integrasi)?

Yaitu, dalam bentuk umumnya,

∫ v.du dapat langsung dipecahkan. Bila integral vdu ini harus diselesaikan dengan integral parsial lagi maka ia termasuk integral parsial tingkat 2 atau lebih.

Jadi mari kita fasilitasi putra-putri kita dengan integral parsial tingkat 1 ini.

∫ 4x. Cosx dx = 4x. Sinx ˗˗ ∫ Sinx. 4 dx

= 4x.sinx + 4.cosx(Selesai)

Merasakan Kehebatan Integral Parsial dengan 2 Versi

 ∫ x² dx = ............. 

 ∫ x³ dx = .............

 ∫ x⁴ dx = .............

 ∫ x² dx = 1/3 x³

 ∫ x³ dx = 1/4 x⁴

∫ x⁴ dx = 1/5 x⁵

Nah, itu baru dengan cara integral biasa. Sekarang mari kita mencoba dengan integral parsial.

 ∫ u.dv  = u.v ˗˗ ∫ v.du

 ∫ x² dx = ∫ x.xdx

∫ x.xdx = x. ½x² ˗˗ ∫½x².dx

=1/2 x³˗˗ 1/6 x³

= 1/3 x³

Sama hasilnya dengan cara integral biasa. 

“Wah hebat… kok bisa sama ya…?” keheranan.

“Lalu…apa gunanya integral parsial bila kita juga dapat mengerjakannya dengan integral biasa?”

Sampai tahap ini kita telah menguasai prosedur teknik integral parsial. Mereka juga yakin bahwa teknik integral parsial adalah sah karena konsisten dengan integral biasa.

Langkah berikutnya adalah menunjukkan kehebatan integral parsial yang tidak dimiliki integral biasa.

∫x.cosxdx = .............

Integral biasa tidak dapat menyelesaikan soal di atas. Bahkan integral substitusi juga tidak mampu menanganinya. Hanya integral parsial yang mampu menanganinya…!

 ∫ u.dv = u.v ˗˗ ∫ v.du

 ∫x.cosxdx = x.sinx ˗˗ ∫sinxdx

= x.sinx + cosx (Selesai)

Teori Bilangan

1. a.) Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n
Contoh :
134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

b.) Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5
Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

c.) Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3
Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d.) Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9
Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e.) Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11
Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.
Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

2.) Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima
Berlaku sebaliknya.
Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

3.) Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.
Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa
Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p)

4.) Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4.
Maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.

5.) Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

6.) Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

7.) Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.
Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1