INTEGRAL TAK TENTU

Sebagaimana kita pelajari, terdapat beberapa langkah untuk menyelesaikan masalah integral.

1. Pertimbangkan menggunakan integral biasa – integral sebagai kenaikan pangkat.

∫ xⁿ dx = 1/(n+1) xⁿ⁺¹ 

Tentu kecuali n = -1 maka akan menghasilkan ln x.

2. Pertimbangkan menggunakan integral substitusi. Ubah bentuk integran menjadi integral kenaikan pangkat seperti di atas.

∫ uⁿ du = 1/(n+1) uⁿ⁺¹ 

Dalam beberapa kasus kita perlu menggunakan substitusi trigonometri. Tabel integral baku sangat membantu. Purcell merekomendasikan 17 bentuk integral baku. Namun di bagian lampiran buku Kalkulusnya, Purcell mendaftar lebih dari 100 bentuk integral baku.

3. Pertimbangkan integral parsial. Setelah integral substitusi menyerah… giliran integral parsial yang turun tangan. Integral parsial juga dikenal sebagai integral substitusi ganda.

Masih kita ingat, bentuk umum integral parsial adalah:

∫ u.dv = u.v ˗˗ ∫ v.du

Namun perlu diingat, tidak berarti integral parsial dapat menangani integral yang lebih luas dari integral substitusi. Masing-masing memiliki keunggulannya sendiri. Memang benar integral parsial lebih kompleks dari integral substitusi.

Beberapa guru tidak mengenali tipe-tipe integral parsial ini. Kesalahan ini dapat mengakibatkan banyak kesulitan bagi siswa. Pada tahap awal, guru harus memperkenalkan integral parsial tingkat 1 ini.

Apa maksud integral tingkat 1 (dengan 1 kali integrasi)?

Yaitu, dalam bentuk umumnya,

∫ v.du dapat langsung dipecahkan. Bila integral vdu ini harus diselesaikan dengan integral parsial lagi maka ia termasuk integral parsial tingkat 2 atau lebih.

Jadi mari kita fasilitasi putra-putri kita dengan integral parsial tingkat 1 ini.

∫ 4x. Cosx dx = 4x. Sinx ˗˗ ∫ Sinx. 4 dx

= 4x.sinx + 4.cosx(Selesai)

Merasakan Kehebatan Integral Parsial dengan 2 Versi

 ∫ x² dx = ............. 

 ∫ x³ dx = .............

 ∫ x⁴ dx = .............

 ∫ x² dx = 1/3 x³

 ∫ x³ dx = 1/4 x⁴

∫ x⁴ dx = 1/5 x⁵

Nah, itu baru dengan cara integral biasa. Sekarang mari kita mencoba dengan integral parsial.

 ∫ u.dv  = u.v ˗˗ ∫ v.du

 ∫ x² dx = ∫ x.xdx

∫ x.xdx = x. ½x² ˗˗ ∫½x².dx

=1/2 x³˗˗ 1/6 x³

= 1/3 x³

Sama hasilnya dengan cara integral biasa. 

“Wah hebat… kok bisa sama ya…?” keheranan.

“Lalu…apa gunanya integral parsial bila kita juga dapat mengerjakannya dengan integral biasa?”

Sampai tahap ini kita telah menguasai prosedur teknik integral parsial. Mereka juga yakin bahwa teknik integral parsial adalah sah karena konsisten dengan integral biasa.

Langkah berikutnya adalah menunjukkan kehebatan integral parsial yang tidak dimiliki integral biasa.

∫x.cosxdx = .............

Integral biasa tidak dapat menyelesaikan soal di atas. Bahkan integral substitusi juga tidak mampu menanganinya. Hanya integral parsial yang mampu menanganinya…!

 ∫ u.dv = u.v ˗˗ ∫ v.du

 ∫x.cosxdx = x.sinx ˗˗ ∫sinxdx

= x.sinx + cosx (Selesai)