Materi kali ini salah satu materi
yang penting untuk dipahami, karena banyak soal matematika yang harus
dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara
model-model tersebut bisa merupakan suatu sistem persamaan linear atau sistem persamaan
non linear.
Definisi Persamaan Linear
Persamaan
linear adalah suatu kalimat matematika terbuka yang variabel berderajat
(berpangkat) satu.
Bentuk Umum Persamaan Linear
Bentuk umum
dari sebuah persamaan linear adalah:
ax = c (1
variabel)
ax + by = c
(2 variabel)
ax + by + cz
= d (3 variabel)
dimana a, b, c dan d konstanta.
Penyelesaian (solusi) Persamaan Linear
Penyelesaian
(solusi) persamaan linear ialah penentuan nilai dari setiap variabel yang memenuhi
persamaan tersebut dengan memperhatikan domain atau daerah asalnya.
Contoh 1
Jika diberikan domain ialah himpunan bilangan bulat,
maka
1. 2x = 6 hanya mempunyai satu
solusi, yaitu: x = 3.
2. x + 5y = 10 mempunyai banyak
solusi, yaitu : (x, y) = (0, 2) atau (10, 0) atau (–10 , 4)
atau (20, –2) dan lain-lain.
3. 2x + 6y = 4 mempunyai banyak solusi, yaitu : (x, y)
= (2, 0) atau (–7, 3) atau (–10, 4) atau (8, –2) dan lain-lain.
Definisi Sistem Persamaan Linear (SPL)
Sistem persamaan linear ialah
kumpulan dari persamaan-persamaan linear yang saling berhubungan untuk mencapai
tujuan tertentu.
Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear
SPL dengan 2 variabel dari 2
persamaan, mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
SPL dengan 3 variabel dari 3
persamaan, mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
Contoh 2
o SPL dengan 2
variabel dari 2 persamaan
o SPL dengan 3 variabel dari 3
persamaan
Sistem Persamaan dengan n
Variabel dan m Persamaan
Bentuk yang melibatkan variabel,
yaitu
f (x1 , x2
, … , xn) = c
disebut persamaan dengan n buah variabel. Sistem
persamaan adalah suatu sistem yang terdiri dari dua atau lebih persamaan, yaitu
|
f1 (x1 , x2 , … , xn)
|
= c1
|
|
f2 (x1 , x2 , … , xn)
|
= c2
|
|
fm(x1 , x2 , … , xn)
|
= cm
|
Sistem persamaan di atas disebut
sistem persamaan dengan n buah
variabel dan m persamaan. Solusi dari
suatu sistem persamaan adalah solusi secara simultan dari semua persamaan di
dalam sistem itu. Cara baku untuk mencari suatu sistem persamaan dengan cara
eliminasi dan atau subsitusi.
Penyelesaian (solusi) SPL
Penyelesaian
SPL dapat dilakukan dengan berbagai macam cara, yaitu: substitusi, eliminasi,
metode cramer, eliminasi Gauss, eliminasi Gasuss-Jordan dan berbagai macam cara
lain dengan himpunan penyelesaiannya adalah { (x , y) }, dimana (x, y)
merupakan pasangan terurut dari variabel-variabel pada SPL dengan 2 variabel
.
Namun metode penyelesaian yang
kita pelajari sekarang adalah metode substitusi, eliminasi dan cramer.
a.
Metode
eliminasi
Metode eliminasi adalah salah satu metode yang
sederhana, yaitu dengan cara menghilangkan suatu atau beberapa variabel dari
semua persamaan yang lain, sehingga diperoleh nilai dari variabel yang kita
inginkan. Setelah itu mensubstitusikan nilai variabel yang telah kita peroleh
tersebut ke dalam persamaan-persamaan lain sehingga diperoleh nilai
variabel-variabel lainnya.
Contoh 3
Diketahui SPL berikut
Tentukanlah solusinya !
Penyelesaian
SPL yang diberikan sama dengan SPL
berikut ini:
Dengan mengeliminasi kedua persamaan
linear tersebut, akan diperoleh 4y= 16, sehingga diperoleh y=4. Selanjutnya
substitusikan nilai y=4 ke dalam salah satu persamaan linear yang ada, sehingga
diperoleh:
Jadi himpunan penyelesaiannya ialah
{ (x, y)=( –10 , 4) }
b.
Metode
substitusi
Metode sustitusi adalah salah satu metode lain yang
sangat sederhana. Prinsip yang dilakukan metode ini adalah dari salah satu
persamaan linear kita buat nilai eksplisit salah satu variabelnya terhadap
variabel lainnya. Kemudian susbtitusi nilai eksplisit variabel yang didapat ke
dalam persamaan linear yang lainnya, sehingga diperoleh nilai variabel yang
diinginkan.
Contoh 4
Diketahui SPL berikut
Tentukanlah solusinya !
Penyelesaian
Dari persamaan linear 2x + 6y = 4
kita peroleh nilai eksplisit variabel x, yaitu: x =2- 3y. Kemudian substitusi
variabel x= 2-3y ke dalam persamaan linear 3x + 5y= 10 sehingga diperoleh:
himpunan
penyelesaiannya ialah { (x, y)=(5, –1)}
c.
Metode cramer
Pada bagian ini akan
diperkenalkan metode lain dalam mengerjakan SPL, yaitu metode cramer.
Misalkan diberikan sebuah SPL 2
variabel dari 2 persamaan sebagai berikut:
maka solusi x dan y dari SPL di atas
adalah:
Sistem Persamaan Non Linear (SPNL)
Definisi
persamaan non linear
Persamaan non linear adalah suatu
kalimat matematika terbuka yang variabel berderajat tidak sama dengan satu atau
mengandung nilai fungsi non linear, seperti log, sin dan lain sebagainya.
Contoh 6
Contoh
persamaan non linear 1 , 2 dan 3 variabel adalah:
2x2 = 6
x2 + 5y = 10
2xy + 6y = 4 log (x)
x + 2y1/2 – z = 2x2
Definisi sistem persamaan non linear (SPNL)
Suatu sistem persamaan non linear
adalah kumpulan dari beberapa persamaan non linear yang saling berhubungan
untuk mencapai tujuan tertentu.
Contoh 7
o SPNL dengan
2 variabel dari 2 persamaan
. 
o SPNL dengan 3
variabel dari 3 persamaan
Penyelesaian
(solusi) SPNL
Di dalam mencari solusi SPNL tidak
ada metode yang baku, namun kita bisa mencoba dengan pemisalan variabel,
substitusi atau eliminasi.
Contoh 8
Tentukan solusi
dari sistem berikut ini:
